Математическое ожидание (Population mean), мат ожидание

Содержание

Мат ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины

Моменты

Асимметрия

Эксцесс

Среднее геометрическое и среднее гармоническое

Мат. ожидание – это среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn, мат ожиданием величины Х называется выражение: ЕХ = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.

Математическое ожиданием – это средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь мат. ожидание и дисперсия.

Мат ожидание случайной величины

Мат ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Мат ожидание случайной величины x обозначается Mx.

Мат ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

называется величина,

если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то

При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет мат ожидания.

Мат ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле

При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет мат. ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

Основные свойства мат ожидания:

- Мат ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

- Мат ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

- Мат ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее мат. ожидания.

Если случайная величина x имеет мат ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение

связанное с дисперсией соотношением

Основные свойства дисперсии:

- дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

- дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

- для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );

- дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо мат ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется мат. ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k.

Заметим, что мат ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой

где m 3 - центральный момент третьего порядка,

- среднеквадратичное отклонение.

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения.

Среднее геометрическое и среднее гармоническое

Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.

Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина

Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на [a, b],

0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:

Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина

Название “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение

Среднее геометрическое, вычисляется следующим образом:

т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a1, a2, …, an.

Например, среднее геометрическое случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром l , вычисляется следующим образом:

Здесь С » 0.577 - постоянная Эйлера.

Источники

ВикиПедия – свободная энциклопедия

ВикиЗнание – свободная энциклопедия

Большая советская энциклопедия

Словари и энциклопедии на академике

«Наука» энциклопедический проект

Прикладная математика-справочник формул

Опубликовано на forexAW.com: Среда, 13 Январь, 2010 года — 15:02.

Последнее редактирование: Вторник, 2 Февраль, 2010 года — 16:04.